Operaciones con funciones 

Las operaciones con funciones son como las operaciones aritméticas que haces con números, pero en este caso las realizas con funciones. En vez de sumar, restar, multiplicar o dividir números, lo haces con expresiones que representan funciones. 

¿Qué tipos de operaciones podemos realizar con funciones?

Imagina que tienes dos funciones, f(x) y g(x). Puedes realizar las siguientes operaciones:

• Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • Se suman las expresiones de ambas funciones.
  • Resta: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• • Se resta la expresión de g(x) de la expresión de f(x).
• Multiplicación: (f * g)(x) = f(x) * g(x)
  • Se multiplican las expresiones de ambas funciones.
• División: (f / g)(x) = f(x) / g(x)
  • Se divide la expresión de f(x) entre la expresión de g(x), siempre y cuando g(x) sea diferente de cero (para evitar divisiones por cero).
• Composición: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
  • La salida de una función se convierte en la entrada de la otra. Es como encadenar dos funciones.

Ejemplo:

Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² - 3, entonces:

• (f + g)(x) = (2x + 1) + (x² - 3) = x² + 2x - 2
• (f * g)(x) = (2x + 1)(x² - 3) = 2x³ - 5x - 3

¿Para qué sirven las operaciones con funciones?

• Combinar funciones: Nos permiten crear nuevas funciones a partir de otras existentes.
• Modelar situaciones reales: Muchas situaciones en la vida real pueden representarse mediante funciones, y las operaciones nos permiten analizar y combinar diferentes modelos.
• Simplificar expresiones: A veces, al realizar operaciones con funciones, podemos obtener expresiones más sencillas.

Ejercicio 1: Determinar si es una función

Problema: Dado el conjunto de pares ordenados {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}\{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)\}, determina si representa una función.

Procedimiento:

1. Revisa cada par ordenado: (1,2),(2,3),(3,4),(4,5)(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5).

2. Verifica que no haya dos pares con el mismo primer elemento y diferente segundo elemento.

Solución:

• Cada primer elemento es único: 1, 2, 3, 4.

• No se repite ningún primer elemento con diferentes segundos elementos.

• Conclusión: Sí, es una función.

Ejercicio 2: Evaluar una función

Problema: Dada la función f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3, encuentra f(4)f(4).

Procedimiento:

1. Sustituye x=4x = 4 en la función: f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.

2. Calcula f(4)f(4).

Solución:

• f(4)=2(4)+3f(4) = 2(4) + 3

• f(4)=8+3f(4) = 8 + 3

• f(4)=11f(4) = 11

• Conclusión: f(4)=11f(4) = 11.

Ejercicio 3: Encontrar el dominio de una función

Problema: Determina el dominio de la función g(x)=1x−2g(x) = \frac{1}{x-2}.

Procedimiento:

1. Encuentra los valores de xx para los cuales la función no está definida.

2. En este caso, la función no está definida cuando el denominador es cero.

Solución:

• x−2≠0x - 2 \neq 0

• x≠2x \neq 2

• Conclusión: El dominio de g(x)g(x) es {x∈R∣x≠2}\{x \in \mathbb{R} | x \neq 2\}.

Ejercicio 4: Componer funciones

Problema: Dadas las funciones h(x)=x+1h(x) = x + 1 y k(x)=3xk(x) = 3x, encuentra (h∘k)(2)(h \circ k)(2).

Procedimiento:

1. Evalúa k(x)k(x) primero: k(2)k(2).

2. Usa el resultado de k(2)k(2) para evaluar h(x)h(x).

Solución:

• k(2)=3(2)=6k(2) = 3(2) = 6

• Luego, h(6)=6+1=7h(6) = 6 + 1 = 7

• Conclusión: (h∘k)(2)=7(h \circ k)(2) = 7.

Ejercicio 5: Graficar una función lineal

Problema: Dibuja la gráfica de la función f(x)=−2x+4f(x) = -2x + 4.

Procedimiento:

1. Encuentra al menos dos puntos sobre la recta.

2. Utiliza x=0x = 0 y x=2x = 2 para obtener los puntos.

Solución:

• Si x=0x = 0, entonces f(0)=−2(0)+4=4f(0) = -2(0) + 4 = 4. Punto: (0,4)(0, 4).

• Si x=2x = 2, entonces f(2)=−2(2)+4=0f(2) = -2(2) + 4 = 0. Punto: (2,0)(2, 0).

• Dibuja la recta que pasa por los puntos (0,4)(0, 4) y (2,0)(2, 0).

• Conclusión: La gráfica es una línea que desciende de (0,4)(0, 4) a (2,0)(2, 0).

Ejercicios relacionados:

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sitio web que te ayudara a su comprensión:

https://www.funciones.xyz/operaciones-con-funciones-suma-resta-producto-division/